Struktur Teorema

STRUKTUR TEOREMA


Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Model Dosen Pengampu: Prof. Dr. Marsigit, M.A





Disusun oleh:
Diana Amirotuz Zuraida (15709251066) (dianaamirotuz.blogspot.com)





PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2016


STRUKTUR TEOREMA
Salah satu cabang dalam filsafat adalah logika. Logika mewakili pemikiran seseorang dalam berfilsafat dan berpendapat mengenai pemikiran – pemikiran berupa hipotesis atau tanggapan tentang suatu peristiwa maupun kejadian. Awal pemikiran pada matematika yaitu berhubungan dengan logika, buktinya banyak tokoh – tokoh dalam filsafat juga memberikan pemikirannya dalam bidang matematika. Sebenarnya bangsa Babilonia sudah ada ilmu tentang perhitungan, namun semua itu hanya berdasarkan pemikiran empiris. Ketika Yunani berkembang, mereka banyak memberikan kontribusi berupa pemikiran deduktif dan fenomena alam dalam bentuk bilangan. Sehingga pada abad ke – 19 dan 20, banyak perkembangan tentang teknologi serta sains dan matematika walaupun sebenarnya sudah diawali dari abad ke – 17, yang mana saat itu didominasi oleh aturan gereja. Adanya aturan gereja tersebut, menimbulkan para ahli filsafat bermunculan bersamaan dengan pemikiran matematis seperti Immanuel Kant, Galileo, serta Rene Descartes yang menentang aturan gereja tersebut.
Logika didefinisikan sebagai kosa kata, yang membentuk aturan yang mana memberikan ide barisan simbol dalam logika dan logika juga didefinisikan sebagai pembuktian dalam sistem (kondisi dalam menggunakan rumus dalam pembuktian). Definisi dalam pembuktian sudah ada bermacam macam bentuk dan gayanya. Pemikiran logika yang paling umum yaitu model yang diajukan oleh Hilbert yang disebut dengan aksioma.
Aksioma berasal dari bahasa Yunani αξιωμα (axioma) yang artinya dianggap berharga, dengan kata lain dianggap terbukti dengan sendirinya. Banyak filsuf Yunani menganggap aksioma adalah pernyataan yang sudah dapat dilihat kebenarannya tanpa harus dibuktikan. Aksioma dalam matematika bukan berarti proposisi yang terbukti dengan sendirinya. Melainkan, suatu titik awal dari sistem logika. Misalnya, nama lain dari aksioma adalah postulat.
Sistem dalam matematika diawali dengan aksioma yang memuat beberapa syarat yang diberlakukan mulai abad ke – 19 seperti konsistensi, independensi, dan kategoris. Aksioma dikatakan konsisten bila tidak adanya logika yang kontradiksi di dalamnya, independensi jika proporsi tidak dapat dideduksi dari proporsi lainnya. Serta dikatakan kategoris jika berisomorfisma dengan himpunan yang disajikan secara aktual dari perangkat aksioma.
Setelah aksioma terbentuk, pernyataan yang muncul selanjutnya disebut dengan teorema. Teorema secara formal disebut juga pernyataan. Pernyataan sebagai asumsi dan dibuktikan dengan pernyataan – pernyataan sebelumnya yang telah disetujui sebagai dasarnya (aksioma, definisi, dan teorema sebelumnya yang telah dibuktikan. Nilai kebenaran dalam matematika bersifat apriori, teori – teori dalam matematika diturunkan secara logis (logika yag telah ditetapkan sebelumnya) dari aksioma, sehingga digunakan secara kondisional sesuai dengan ruang dan waktunya.
Teorema berawal dari pernyataan yang ada pada zaman Yunani Kuno periode sekitar 600 SM hingga 300 SM, para pengikut pythagoras berusaha menemukan panjang sisi miring suatu segitiga dan akhirnya menemukan bahwa panjang sisi miring sebuah segitiga itu merupakan bilangan irrasional. Pada periode ini pula, bangsa Yunani Kuno telah menyusun geometri aksiomatis karya Euclid yang isinya masih digunakan hingga saat ini. Buku yang telah disusun bermacam macam seperti sifat lingkaran, garis, bangun segi empat, dan ada juga yang berkaitan dengan teorema pythagoras sehingga dapat dipahami prosesnya dari abad – abad sebelumnya.
Pada awal abad ke – 20, matematikawan bernama David Hilbert (1862- 1943) merumuskan sistem formal dari aksioma harus konsisten, artinya pernyataan dan kebalikannya tidak dapat dibuktikan secara bersamaan. Namun, pada tahun 1930, Kurt Godel (1906-1978) mengatakan bahwa apapun sistem aksioma atau aturannya, akan selalu ada beberapa pernyataan yang dapat tidak terbukti atau tidak valid dari sistem. Bunyi dari teorema Godel yang pertama yaitu “Jika suatu sistem matematika dikehendaki konsisten, maka dia pastilah tidak lengkap” dan teorema kedua Godel berbunyi “Jika suatu sistem dikehendaki lengkap, maka dia pastilah tidak konsisten”. Chaitin juga membuktikan bahwa prosedur tidak akan menghasilkan hasil yang lebih kompleks daripada prosedur itu sendiri sehingga dia membuat teori bahwa wanita yang berbobot 1 pon tidak bisa melahirkan bayi seberat 10 pon. Hal tersebut juga membuktikan bahwa akan ada pemikiran yang kompleks dalam keadaan akal kita tidak bisa memahaminya. Godel menunjukkan bahwa tidak ada sistem jenis Hilbert yang mana bilangan bulat bisa didefinisikan konsisten serta lengkap. Pada disertasi Godel membuktikan kelengkapan orde pertama, bukti ini dikenal sebagai teorema kelengkapan Godel. Belliau juga membuktikan bahwa Hilbert dianggap benar karena asumsinya matematika adalah bagian dari kehidupan nyata. Dengan menggunakan teori bilangan sebagai contoh yang konkrit kemudian menunjukkan cara untuk mengubahnya ke dalam simbol yang mana semestanya mengenai bilangan.
Sampai pada saat itu, Hempel berpendapat bahwa setiap sistem postulat matematika yang konsisten, menunjukkan interprestasi yang berbeda dari istilahnya. Definisi juga termasuk di dalam sistem aksioma tersebut. Beliau juga mengatakan bahwa upaya untuk menyempurnakan model yaitu mengubah definisinya sehingga muncul model yang baru lagi dengan teori yang tetap stabil. Kesimpulan dari Hempel ini, teorema dari teori apapun terdiri dari dua bagian, premis dan kesimpulan. Kesimpulan dari teorema tidak hanya dari himpunan aksioma tetapi juga premis yang khusus untuk teorema tertentu dan bukan perpanjangan dari sistemnya.
Paradigma matematika saat ini didasarkan pada teori himpunan aksiomatik dan logika formal. Seluruh teorema pada saat ini dapat dirumuskan sebagai teorema teori himpunan. Setelah teorema ada, maka ada istilah lanjutan yang disebut dengan lemma, lemma secara konvensional digunakan untuk menunjukkan proposisi terbukti yang digunakan sebagai batu loncatan untuk hasil yang lebih besar daripada sebagai pernyataan yang berguna lebih dalam dan teorema itu sendiri. Strukturnya dapat digambarkan sebagai berikut.



Jadi, untuk membuktikan suatu teorema, kita membutuhkan aksioma atau postulat yang berhubungan atau yang membentuk ke arah konteks teorema yang akan dibuktikan. Urutan proses adanya teorema digambarkan sebagai berikut.

Berbeda lagi dengan kebenaran tentang objek yang ditemukan oleh manusia hukum alam dan hukum matematika memiliki status yang sama. Dalam kehidupan kita, tidaklah lepas dengan mitos. Mitos dalam bahasa Yunani: μῦθος— mythos atau mite (bahasa Belanda: mythe) adalah cerita prosa rakyat yang menceritakan kisah berlatar masa lampau, mengandung penafsiran tentang alam semesta dan keberadaan makhluk di dalamnya, serta dianggap benar-benar terjadi oleh yang empunya cerita atau penganutnya. Dalam pengertian yang lebih luas, mitos dapat mengacu kepada cerita tradisional. Pada umumnya mitos menceritakan terjadinya alam semesta, dunia dan para makhluk penghuninya, bentuk topografi, kisah para makhluk supranatural, dan sebagainya.
Ada yang menganggap mitos itu benar terjadi, adapula yang tidak mempercayai mitos tersebut. Biasanya, mitos itu perlu dibuktikan kebenarannya ketika mencoba untuk melakukannya. Jika sesuatu terjadi, maka anggapan itu dianggap benar, namun jika tidak terjadi sesuatu apapun maka anggapan itu dianggap tidak benar. Mitos bisa dianggap sebagai teorema, sehingga terkadang perlu pembuktian agar seseorang percaya bahwa fenomena itu benar – benar terjadi. Teorema berisi premis khusus dengan contoh misalkan, tidak diperbolehkan menggunakan pakaian berwarna hijau atau biru ketika ada di tepi pantai karena orang yang berpakaian tersebut bisa hilang terbawa ombak. Itu adalah suatu teorema yang belum tentu kebenarannya. Namun, dalam kehidupan kita, ada postulat yang mutlak yaitu perintah dari Tuhan. Perintah dari Tuhan itu benar adanya.

Teorema dalam matematika yang paling sering digunakan adalah teorema pythagoras. Teorema ini bermanfaat dalam kehidupan sehari – hari, seperti menghitung tinggi kemiringan tangga yang akan digunakan agar orang yang naik tidak terjatuh. Tinggi sebuah jendela lantai 2 pada sebuah gedung kira-kira 8 meter. Di depan gedung tersebut ada sebuah taman dengan lebar 6 m. Berapa panjang tangga minimum yang dibutuhkan agar kaki-kaki tangga tidak merusak taman. Ilustrasi sebagai berikut.


Jika panjang tangga dianggap sebagai x maka:

Maka panjang tangga minimum adalah 10 m. Contoh lain juga berupa ornamen dari seorang arsitektur dari Iran yang sudah membuktikan teorema pythagoras dengan teknik arsitekturnya pada abad ke 10 yaitu membuat ornamen pada bangunan seperti gambar di bawah ini.

Para arsitektur mengeksplor teorema pythagoras tersebut menjadi lebih menarik untuk ornamen seperti di bawah ini.

DAFTAR PUSTAKA Nielsen, J.L.(2010). The Heart is a Dust Board: Abu’l Wafa Al-Buzjani, Dissection, Construction, and theDialog Between Art and Mathematics in Medieval Islamic Culture. University of Missouri: Arkansas city. http://www.sfu.ca/~jeffpell/papers/PhilAutoThmProving91.pdf https://m.facebook.com/notes/dunia-matematika/sejarah-perkembangan-matematika/217020314975045/ https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem https://id.wikipedia.org/wiki/Mitos gehamatic.weebly.com/uploads/2/5/3/5/.../teorema_pythagoras.docx http://novi-ariyaniasparagus.blogspot.co.id/2013/01/postulat-dalil-aksiomal-dan-lain-lain.html Marsigit, Rizkianto. I, Murdiyani, N.M.(2014). Filsafat Matematika. Universitas Negeri Yogyakarta: UNY Press http://sahatfp.blogspot.co.id/2013/03/tugas-2pengertian-aksioma-dan-teorema.html https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema